Tinggalkan komentar

Sistem Koordinat Kartesius Siku-Siku

Dalam sistem kordinat siku-siku digunakan dua garis lurus yang berpotongan tegak lurus pada titik O (selanjutnya disebut titik pangkal sumbu koordinat ) sebagaimana tampak dalam gambar 1.1 berikut ini.

Garis lurus horizontal selanjutnya disebut sumbu X, dan yang vertikal disebut sumbu Y. Masing -masing garis tersebut merupakan garis bilangan (riil). Titik pada sumbu X yang berada di sebelah kanan sumbu Y berkorespondensi dengan bilangan riil positif, sebaliknya yang berada di sebelah kiri sumbu Y berkorespondensi dengan bilangan riil negatif.

Titik-titik pada sumbu Y yang berada diatas sumbu X berkorespondensi dengan bilangan riil positif, sedangkan yang berada di bawah sumbu Y dengan bilangan riil negatif. Sedangkan titik O, baik pada sumbu X maupun sumbu Y berkorespondensi dengan bilangan riil nol.

Sumbu X dan Y membagi bidang datar atas empat bagian (daerah) yang masing-masing disebut kwadran I, kwadran II, Kwadran III dan kwadran IV (lihat gambar 1.1). Titik P yang berada 2 satuan di sebelah kanan sumbu Y dan 3 satuan di atas sumbu X dikatakan memiliki koordinat (2,3), dan di tulis P(2,3). Jadi, apabila diketahui titik M memiliki koordinat (x,y), maka ini berarti titik M tersebut berada pada jarak  │X│ satuan dari sumbu Y, dan pada jarak │Y│ satuan dari sumbu X.

Post By:  Sancita I Putu (1368)

Tinggalkan komentar

Persamaan Garis Lurus

Garis lurus merupakan grafik suatu fungsi linier. Jika f adalah fungsi linier dengan rumus f(x) = ax + b, untuk a, b Є R, maka persamaan garfik fungsi f adalah y = ax + b. Jadi y = ax + b tiada lain dari pada persamaan suatu garis lurus. Perhatikan persamaan garis lurus y = ax + b, dengan a, b Є R, maka a disebut gradien/kecondongan garis/koefisien arah dari garis tersebut. Jika α adalah besar sudut antara garis tersebut dengan sumbu X (diukur berlawanan arah putaran jarum jam), maka berlaku tg α = a, dimana 0° ≤ α ≤ 180°. Sedangkan (0,b) adalah titik potong garis dengan sumbu Y.

 

Kadang-kadang persamaan garis lurus ditulis dalam bentuk implisit, seperti: Ax + By C = 0, dimana A dan B tidak sekaligus sama dengan nol.
Bentuk Ax + By + C = 0 dapat diubah menjadi y= – A/B x – C/B.
Bila kita bandingkan penulisannya dengan y = ax + b, maka a = -A/B dan b = -C/B untuk B ≠ 0

Suatu Garis Lurus dapat ditentukan oleh:
1. Satu titik pada garis itu dan koefisien arahnya.
Misalkan P(x1 , y1) adalah titik yang dilalui oleh garis p, sedangkan a adalah gradien garis p. Andaikan persamaan garis p adalah y = ax + b. Selanjutnya, karena titik P(x1 , y1) berada pada garis p, maka berlaku y1 = ax1 + b. Perhatikan sistem persamaan linier (SPL) berikut, kemudian eleminasi b:
y = ax + b
y = ax1 + b
———— -
(y – y1) = a(x – X1)
Jadi persamaan garis lurus p yang melalui titik P(x1 , y1) dengan gradien a adalah y – y1 = a(x – x1)

2. Dua titik yang tidak berimpit.

Misalkan P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2) adalah dua titik pada garis g, dan andaikan
persaman garis lurus g adalah y = ax + b …….(I)
Karena P(x1 , y1) pada g, maka y1 = ax1 + b …….(II)
Karena Q(x2 , y2) pada g, maka y2 = ax2 + b …….(III)
Selanjutnya eleminir b dari (I) dan (II), serta dari (II) dan (III)
y = ax + b                                  dan                           y2 = ax2 + b
y1 = ax1 + b                                                                y1 = ax1 + b
————– –                                                                —————-   -
(y – y1) = a(x – x1)                                                   (y2 – y1) = a (x2 – x1)
a = (y – y1)/(x – X1)….(IV)                                   a = (y2 – y1)/(x2 – x1) ….(V)

Dari (IV) dan (V), diperoleh a = a, atau
(y – y1)/(x – x1) = (y2 – y1)/(x2 – x1) → (y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1)
Jadi persamaan garis lurus g yang melalui titik P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2) adalah
(y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1) ……(VI)
Selanjutnya persamaan (VI) dapat ditulis menjadi
(y – y1) = {(y2 – y1)/(x2 – x1)} (x – x1) …….(VII)
Bentuk (y2 – y1)/(x2 – x1) pada persamaan VII merupakan gradien garis g yang melalui titik P dan Q tadi. Bila mPQ menyatakan gradien garis yang melalui titik P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2), maka  mPQ = (y2 – y1)/(x2 – x1)

Contoh

1. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P(-3,5) dengan gradien -2/3. Kemudian tulislah persamaan garis tersebut dalam bentuk implisit!

Jawab:
Persamaan garis g adalah
y – y1 = a(x – x1)
y – 5 = -2/3(x +3)
3(y – 5) = -2(x + 3)
2x + 3y = 9
Dalam bentuk implisit ditulis 2x + 3y – 9 = 0

2. Ditentukan titik P(-3,4) dan Q(-1,1). Tentukan gradien garis yang melalui titik P dan Q. Tulislah pula persamaan garis g yang melalui P dan Q!

Jawab:
Gardien garis g yang melalui P dan Q adalah:
mPQ = (y2 – y1)/(x2 – x1)
mPQ = (1 – 4)/(-1 + 3)
mPQ = -3/2
Persamaan garis g yang melalui titik P dan Q adalah
(y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1)
(y – 4)/(1 – 4) = (x + 3)/(-1 + 3)
2(y – 4) = -3(x + 3)
2y + 3x + 1 = 0

 

Post By:  Sancita I Putu (1368)

Tinggalkan komentar

Hubungan Sistem Koord. Cartesius dan Sistem Koord. Kutub

Suatu titik P berkoordinat  (x,y) dalam sistem koordinat Cartesius dan  (r,0) dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, demikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut:

Hubungan antara sistem koordinat kartesius dengan sistem koordinat kutub (polar) sangatlah erat dari persamaan diatas dapat kita lihat hubungannya dan diperoleh rumus-rumus tertentu untuk lebih jelasnya semuanya dapat di dilihat dan download di ….  ,

 

 

Post By:  Sancita I Putu (1368)

 

Tinggalkan komentar

Pengertian Dan Persamaan Bola

Definisi Bola

Permukaan Bola merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.

Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola.

Persamaan Bola

Misalkan Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut)

Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola B, maka berlaku:

MP = OP – OM

= (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)

= (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)

Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:

│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:

R = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²

Bila titik  P(x˳, y˳, z˳) dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan Bola.

Jadi persamaan Bola B yang berpusat dititik M(a,b,c) dengan jari-jari = R adalah

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² ….(I)

Bila persamaan (I) dijabarkan, maka diperoleh:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0 … (II)

Dari persamaan (II) diatas, apabila:

-2a = A, -2b = B, -2c = C dan  a² + b² + c² – R² = D, maka persamaan (II) dapat ditulis sebagai berikut:

x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 ….(III)

Selanjutnya Persamaan (III) disebut BENTUK UMUM persamaan Bola karena:

-2a = A, maka a = -½ A

-2b = B, maka b = -½B

-2c = C, maka c = -½C

Dengan demikian pusat Bola B pada persamaan (III) diatas adalah

M(-½A, -½B, -½C) ….(IV)

Begitu pula karena  a² + b² + c² – R² = D, maka didapat:

R² =  a² + b² + c² – D

R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D

R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) ….(V)

Bentuk (IV) dan (V) berturut-turut adalah KOORD, TITIK PUSAT dan JARI_JARI Bola B yang mempunyai persamaan (III) diatas.

Untuk bola B dengan persamaan x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 terdapat tiga kemungkinan, yaitu

1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati

2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)

3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal

 

Post By:  Sancita I Putu (1368)

Tinggalkan komentar

Sistem Koordinat Kutub

Pada sistem koordinat Cartesius, letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan (x,y) , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real (r,v) , dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan v adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub)

Untuk lebih lengkapnya anda dapat mempelajarinya dengan mendownload materi tentang sistem koordinat kutub di… … …

Post By:  Sancita I Putu (1368)

Tinggalkan komentar

Bola dan Bidang Datar

Bola pada bidang rata mempunyai beberapa keistimewaan tertentu

Dapat dilihat pada Bola S = 0 berjari-jari r, pusat M. bidang P = 0, dengan d = jarak pusat M ke
bidang.
Hubungan bola dan bidang rata antara lain sebagai berikut :
1. V memotong bola.
Bila d < r : perpotongannya sebuah lingkaran
Bila d = r : perpotongan sebuah titik (bidang menyinggung bola)
2. V tidak memotong bola bila d > 0

Untuk lebih jelasnya bisa di download di link download di bawah ini… …

Post By:  Sancita I Putu (1368)

Tinggalkan komentar

Kuasa Titik Terhadap Bola

Pandang bola S (x,y,z) = 0 dan titik G (x1,y1,z1) sebarang. Didefinisikan : kuasa
titik G terhadap bola adalah nilai k = S (x1,y1,z1)… …. …

Untuk lebih jelasnya dapat di download di link dibawah ini… …

 

 

 

Post By:  Sancita I Putu (1368)

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.